Чему и как учить студентов в России в XXI веке?

А. М. Ельяшевич

Система образования в целом и система высшего образования — чрезвычайно консервативны, и этот консерватизм вполне оправдан. От того, чему и как научат сначала школьников, а потом студентов, во многом зависит судьба любой страны, а России особенно. Принцип «Не навреди!» должен соблюдаться неукоснительно. И все-таки перемены необходимы. Изменения во всем мире в последние десятилетия происходят поистине стремительно, и их темп не снижается. Наиболее принципиальным изменением является появление совершенно новых информационных технологий. Десятками тысячелетий накопленный людьми опыт передавался изустно от человека к человеку, несколько тысячелетий с помощью книг, сначала рукописных, потом печатных. Сейчас появился новые средства информации — электронные. Вскоре после появления персонального компьютера он был назван «вторым великим уравнителем» (первым «великим уравнителем» окрестили появившийся в середине 19 века револьвер Кольта). Еще в большей степени на способы получения информации оказало влияние появление Интернета. Сейчас, пожалуй, не найти вопроса, на который можно было бы найти ответ в книге и нельзя в Интернете. Конечно, информация, попадающая в книги, подвергается более строгому отбору и является в целом более достоверной, но по актуальности Интернет имеет явное преимущество. Что же и как следует изменять в современном высшем образовании? Бывший премьер России Виктор Степанович Черномырдин в одной фразе сформулировал исток неудач многих наших действий на любых уровнях принятия решений. «Хотели, как лучше, а получилось, как всегда». Почему же так получается? Прежде, чем искать ответ на этот вопрос, попытаемся сформулировать требования, предъявляемые современной жизнью к выпускникам вузов. Вот что думает по этому поводу председатель Совета Федерации С. М. Миронов (сайт http://mironov.ru/book/science):

Люди с дипломами, прослушавшие некий набор лекций, современному обществу не нужны. Жизненный успех и конкурентоспособность современного выпускника вуза, какую бы специальность он ни приобрел, зависит, во-первых, от степени владения информационными технологиями, во-вторых, от способности системно мыслить и действовать, и, в-третьих, от готовности к инновациям и умения находить новые решения.

Более развернутые требования содержатся в помещенной на сайте JobFair.ru статье Антона Молчалина «Что ожидают работодатели от выпускников вузов — будущих топ-менеджеров?».

Автор говорит о 5 качествах, наличие которых работодатели особенно ценят при приеме на работу молодых сотрудников:

  1. максимально широкое видение того контекста, той общей ситуации, в которой будет развертываться их будущая профессиональная деятельность;
  2. активность и лидерские качества;
  3. креативность;
  4. мотивация к профессиональному развитию в выбранной области;
  5. личностная зрелость.

Проанализировав первые четыре качества, А. Молчалин особо выделяет пятое, упоминаемое работодателями реже других, но в значительной степени определяющее наличие первых четырех. Личную зрелость он характеризует следующим образом:

Во-первых, это способность осознавать свои цели в жизни, вещи, которых человек хочет добиться для себя. В то же время это способность ставить себе промежуточные задачи, которые необходимо решить на пути к своим жизненным целям.

Во-вторых, это умение осознавать и контролировать в какой-то степени свои эмоции, понимая, что для того, чтобы добиться какой-то значимой цели, часто необходимо отбросить многие другие свои желания, менее существенные, необходимо мужественно встречать трудности и неудачи и извлекать из них уроки.

Кроме того, это понимание того, что для достижения своей цели важно собрать максимум информации о том, как ее можно достичь и в каких условиях это может происходить, понимание того, что достижение целей жизни происходит не в пустоте, а среди других людей со своими желаниями и интересами, в определенной сложившейся культуре со своими правилами, в какой-то конкретной ситуации со своими условиями.

Наконец, это понимание того, что для достижения цели нужно проявлять активность — как внешнюю — установление и поддержание контактов с другими людьми, которые имеют какое-то отношение к этой цели, достижение определенного социального статуса, поиск необходимой информации, — так и внутреннюю — постоянно искать новые пути достижения целей и решения возникающих задач, постоянно пересматривать эффективность выбранных способов решения этих задач.

И в заключение автор дает советы, что нужно делать человеку, чтобы приобрести перечисленные качества и научиться их использовать. Главным он считает следующий:

Думать, думать и еще раз думать. Своей головой. О том, что происходит вокруг вас, и о том, что происходит внутри вас, о том, чего хотят люди вокруг, и о том, чего хотите вы.

Мне представляется, что научить человека: «думать, думать, думать» является основной целью образования в XXI веке.

А вот что написано в докладе, подготовленном Аналитическим центром «Эксперт»? [1]:

… работодатели делают большой акцент на обучаемости, адаптационных возможностях и личностных качествах выпускников, достаточно редко упоминая глубокие знания и навыки.

Вот какие качества они считают самыми важными:
  • общий уровень развития и базовые знания молодого специалиста;
  • способность системно мыслить, умение перерабатывать большие объемы информации и вычленять главное;
  • умение применять на практике полученные знания, навыки командной работы, умение и желание постоянно учиться;
  • нацеленность на карьеру, целеустремленность, адекватность самооценки как специалиста.

Приведу еще несколько цитат из того же доклада:

  • Личность первична, профессионализм вторичен.
  • Необходимо умение работать в команде, этому в институте не учат.
  • У всех выпускников завышена самооценка.
  • Мы получаем специалиста не с высшим образованием, а с куском высшего образования.

В полной ли мере содействует ли обучение в высшем учебном заведении развитию качеств, которые ценятся работодателями? Думаю, что самый наивный оптимист не ответит на этот вопрос утвердительно.

В книге Плауса Скотта [2] я нашел следующую задачу, для решения которой достаточно знаний арифметики в объеме второго класса начальной школы:

Человек купил лошадь за 60$ и продал ее за 70$, после чего опять купил ее за 80$ и продал за 90$. Сколько он заработал?

Автор сообщил, что только 45% американских студентов при решении этой задачи в одиночку дали правильный ответ (20$). Этот процент показался мне удивительно низким, и я объяснил его тем, что, по-видимому, уровень преподавания математики в университете, в котором проводилось исследование, оказался крайне низким. Для проверки этой гипотезы я предложил эту задачу студентам 1 курса факультета экономики и менеджмента СПб государственного политехнического университета, обучавшимся по специальности «Финансы и денежное обращение». Я был уверен, что правильное решение дадут если не все, то, во всяком случае, подавляющее большинство студентов, недавно успешно сдавших вступительный экзамен по математике, в котором давались несравненно более сложные задачи. Каково же было мое удивление, когда 40% студентов дали неправильный ответ. Еще больше я удивился, когда с задачей не справились 50% студентов 3 курса и 60% студентов 5 курса. Вывод очевиден: обучение в вузе не увеличило, а уменьшило способность студентов думать. Впоследствии я давал эту задачу в несколько измененном варианте, заменив лошадь на зонтик, различным группам, среди которых были и профессиональные бухгалтеры, и бизнесмены. Везде наблюдалась та же картина — примерно половине испытуемых эта задача оказывалась «не по зубам». Предложив эту задачу участникам конференции «Психология и бизнес», я попросил указать, уверены ли отвечавшие в своем ответе. Оказалось, что примерно половина участников, давших неправильный ответ, были в нем уверены. Излишняя самоуверенность, убежденность в своей способности дать правильную оценку, как показали многочисленные психологические эксперименты, свойственна подавляющему большинству людей. Исключение представляют только представители профессий, в которых обязательна постоянная проверка своих оценок: профессиональные оценщики, работники метеослужб, игроки в бридж.

В 2002 году Нобелевская премия в области экономики была присуждена двум американским ученым: психологу Даниэлю Канеману и экономисту Вернону Смиту (см. [3]). Объединило работы этих двух очень разных исследователей то, что они показали, что люди в экономической сфере действуют менее разумно и менее эгоистично, чем это предполагается в классических экономических теориях. Надо заметить, что до этого ни один психолог такой высокой награды не удостаивался. Нобелевский комитет присудил Канеману премию «за обогащение экономической науки результатами психологических исследований, особенно в отношении оценки человеком ситуации и принятия им решений в условиях неопределенности». Если перевести эту формулировку на обыденный язык, она будет звучать следующим образом: «Канеман получил Нобелевскую премию за то, что он показал, как психологические ошибки, которые свойственно совершать людям, влияют на действия человека в сфере экономики и бизнеса». Вернон Смит удостоился Нобелевской премии за разработку нового инструмента экономического анализа — лабораторных экспериментов. Именно при проведении таких экспериментов, приведших к выводам, блестяще подтвержденным на практике, приверженец классической экономической теории Вернон Смит пришел к заключению об иррациональности поведения человека. Тот факт, что при принятии решений человек склонен действовать не рационально (разумно), а иррационально, совершая ошибки, причем ошибки не случайные, а вполне определенные, систематические, психологами был установлен уже много лет назад. Изучение характера этих ошибок привело к созданию нового междисциплинарного направления — экономической психологии, или поведенческой экономики. Кстати, по мнению Канемана, одной из главных причин отклонения от рационального поведения на финансовых рынках является преувеличение своих профессиональных качеств и способности объективной оценки ситуации. Это справедливо не только по отношению к финансистам. По словам Канемана, если бы большинство водителей были так искусны, как они думают, было бы гораздо меньше аварий на дорогах.

В 2005 году Нобелевской премии по экономике были удостоены израильский и американский ученые Роберт Ауманн и Томас Шеллинг, за то, «что они улучшили наше понимание конфликта и сотрудничества посредством теории игр» (см. [4]). В статье «Чего пытается добиться теория игр» Р. Ауманн высказал мнение, что экономическая теория рассматривает поведение биологического вида Homo rationalis — рационального человека.

Homo rationalis действует целенаправленно и логично, имеет четко определенные цели, мотивирован исключительно желанием приблизиться, насколько это возможно, к достижению этих целей и обладает способностью к расчетам, требующейся для таких действий.

Биологический вид Homo rationalis Р. Ауманн считает таким же плодом мифологии, какими являются единорог и русалка. Реальный же кузен мифического Homo rationalis — Homo sapiens (человек разумный):

…часто руководствуется подсознательными психологическими побуждениями или сознательными, но совершенно иррациональными. В его поведении громадную роль играют стадные инстинкты; даже, когда его цели хорошо определены, что случается нечасто, его мотивация их достижения несовершенна; не обладая способностью к расчету, он часто демонстрирует совершенную глупость; даже умный человек может быть усталым или голодным, или расстроенным, или рассерженным, или пьяным, или окаменевшим, неспособным думать, когда на него давят, или, напротив, начинающим думать только, когда на него давят, или руководствующимся больше своими эмоциями, чем умом. И это только часть причин, приводящих к отклонению от рационального поведения». Рациональность является только одним из факторов, определяющих поведение человека, никакая теория, базирующаяся только на этом факторе, не сможет дать надежные предсказания». Homo rationalis может служить моделью для изучения некоторых аспектов поведения Homo sapiens.

Действительно, поведение человека отличается исключительной противоречивостью, в основе которой лежит противоречивость его инстинктивных программ и неотлаженность механизма их взаимодействия на уровне подсознания — на отладку такого механизма требуются сотни тысяч, если не миллионы лет, а у Homo sapiens столько времени не было. Примерно сто тысяч лет тому назад в истории человечества произошло принципиальное изменение — естественный биологический отбор перестал поспевать за резко ускорившимся темпом социальных изменений. В результате человек как биологическое существо оказался «законсервированным» на стадии, соответствующей условиям жизни первобытного племени. Более того, он остался, по меткому выражению В. Р. Дольника [5], в биологическом смысле «недоделанным». Многие свойства человека не имеют никакого положительного биологического смысла, например, несоответствие размеров женского таза и размера головы рождающегося ребенка, приводит к тому, что роды проходят тяжело и часто заканчиваются смертью роженицы или/и новорожденного. Животные гораздо совершеннее. У них тоже есть органы, бессмысленные с точки зрения приспособления к внешней среде (у оленя рога, которые нужны только для схваток самцов, у петуха фазана-аргуса длинные маховые перья, которые мешают ему жить, но привлекают куриц), но это скорее исключения, чем правило.

Говоря об инстинктивных программах, в значительной степени определяющих поведение и животных, и человека, мы естественным образом приходим к аналогии живых организмов с автономными механизмами, управляемыми компьютером. Используя такой подход, можно представлять организм, как набор связанных в единое целое периферийных устройств, а в самом компьютере отдельно рассматривать «железо» (hardware) и программное обеспечение (software), причем в последнем можно выделить системную часть, состоящую из программ, в работу которых в процессе работы компьютера практически невозможно вмешаться, и часть, программируемую на протяжении всей жизни организма.

Периферийные устройства человека ничем принципиально не отличаются от периферийных устройств животных. «Железо» отличается количественно, а не качественно — элементная база одна и та же, но у человека мозг имеет более сложную структуру и больший объем. А вот что касается программного обеспечения, — то здесь имеются существенные отличия и в наборе программ, и, что особенно важно, в уровне языка, на котором происходит программирование.

И у животных, и у человека громадное количество программ находятся в системном блоке — они «вшиты» при рождении, запускаются по мере надобности под влиянием внешних условий и работают быстро и точно. Сознание их не контролирует, запуск осуществляется автоматически под влиянием определенного стимула и все действия этих программ однозначны. Часть программ формируется в процессе онтогенеза (индивидуального развития организма), работает быстро и точно в автоматическом режиме. Но большинство программ являются незавершенными, они могут начать работать, только если им задать некоторые параметры. Такие программы есть и у животных, они помогают действовать в нестандартных условиях. Но у животных их гораздо меньше. У человека же они играют громадную роль. Эти программы более сложны и поэтому менее надежны. Кроме того, они созданы позже, а любая новая программа является «сырой» — в ней имеются скрытые ошибки, которые постепенно выявляются в процессе работы и устраняются (программистом или эволюцией).

Стивен Пинкер в книге «Как работает разум» [6] определяет разум как «способность использования знания того, как работают вещи, для достижения определенных целей при наличии препятствий». При таком определении некоторые действия человекообразных обезьян, а также собак, дельфинов, попугаев и других животных следует считать безусловно разумными. Гораздо более продуктивной представляется данное Конрадом Лоренцом определение разума как понятийного мышления, предпосылками которого являются 7 функций [7]:

  • абстрагирующая функция восприятия образов;
  • центральное представление пространства;
  • обучение, основанное на понимании;
  • произвольное движение;
  • любознательное поведение и исследование;
  • подражание;
  • традиция (передача индивидуально приобретенного знания от одного поколения к другому).

Эти функции, по словам К. Лоренца:

…не присущи исключительно человеку, но в каждой из них он превосходит все живые существа, и все они необходимым образом участвуют в свойственной только человеку функции понятийного мышления и словесного языка. Они интегрированы в целое, отделенное от всех прежде существовавших живых систем «разрывом», едва ли меньшим, чем «разрыв» отделяющий жизнь от неорганического вещества.

Определение разума, даваемое в Толковом словаре русского языка [8], по своему смыслу близко к определению Лоренца:

1. Высшая ступень познавательной деятельности человека, способность логически мыслить, постигая смысл и связь явлений, уяснять законы развития мира, общества и сознательно находить целесообразные способы их преобразования. 2. Ум, интеллект. В противоположность чувству.

На английский язык русское слово «разум» переводится тремя различными словами: reason, mind, intellect. Слово mind в наибольшей степени соответствует первому значению слова «разум». Слово intellect (ум) в интерпретации, пожалуй, не нуждается. А вот слово reason имеет много значений, первым из которых является «причина», но которое означает также «soundness of mind, sanity» — здоровье ума, здравомыслие. И в русском языке слово «разумный» имеет, кроме значения «обладающий разумом, умом, интеллектом», еще значение: «оправдываемый разумом, основанный на разуме, обладающий положительным смыслом (подчеркнуто мною — А. Е.)». И с этой точки зрения, человек в гораздо меньшей степени разумен, чем животные. Человек обладает разумом, но его действия часто не рациональны, а иррациональны. Животные же, не обладая разумом, ведут себя гораздо рациональнее.

Какое же отношение имеет все вышеизложенное к теме статьи? С моей точки зрения, самое прямое. Поскольку в современном мире от человека требуется все-таки рациональное поведение, обучение должно быть направлено на развитие именно такого поведения. Это давно понял Р. Ауманн, ставший одним из инициаторов создания Центра рациональности Еврейского университета в Иерусалиме, в котором, «… сочетаются широта и узкая направленность (фокусность) исследований. Широта обеспечивается объединением усилий ученых, являющихся специалистами в различных областях: математике, экономике, информатике, эволюционной биологии, общей философии, философии науки, психологии, праве, статистике, образовании. Фокусность достигается объединяющей идеей — идеей рациональности — поведения, отвечающего собственным интересам».

В приведенном перечне дисциплин я бы выделил две: психологию и математику. Философ Гельдерлина считал, что существуют только две по-настоящему фундаментальные науки — физика и психология, имеющие дело с наиболее глубокими закономерностями внешнего мира, как объекта познания и внутреннего мира человека — субъекта познания. Очень часто цитируют слова Декарта о том, что в каждой науке столько истинной науки, сколько в ней математики. В современном мире правильнее было бы сказать, что в каждой естественнонаучной дисциплине столько истинной науки, сколько в ней физики, а в каждой гуманитарной, сколько в ней психологии. В то же время при обучении и физике, и психологии, уделяется очень мало внимания.

А на том, как обстоит дело с математикой, следует остановиться подробнее. Еще в 1998 г. один из ведущих российских математиков академик В. И. Арнольд писал [9]:

Математика — часть физики. Физика — экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, в которой эксперименты дёшевы.

В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).

Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам — и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.

К сожалению, именно подобное уродливое извращённое построение математики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий. Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распространилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и школьников всех специальностей (сперва во Франции, а потом и в других странах, включая Россию).

Ученик французской начальной школы на вопрос «сколько будет 2+3» ответил: «3+2, так как сложение коммутативно». Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают!

В. И. Арнольд говорит о физике, но в настоящее время математические методы все больше проникают и в гуманитарные области знаний: экономику, психологию, социологию, лингвистику. В экономике в настоящее время без математики не обойтись. Благодаря развитию информационных технологий и широкому использованию персональных компьютеров, математические методы, казалось бы, должны становиться все более доступными для людей с гуманитарным образом мышления. Однако складывается парадоксальная ситуация. Математическая культура не растет, а падает, и выпускники высших учебных заведений не умеют решать простейшие арифметические задачи, на что я уже указывал. Уровень преподавания математики в средней школе упал настолько, что если раньше, как говорил писатель И. Меттер, у нас было много людей «с высшим, но без среднего образования», то теперь появились люди «с высшим, но без начального образования». Существующая система вступительных экзаменов не препятствует поступлению в ВУЗ выпускников школ, не владеющих самыми элементарными знаниями арифметики и геометрии, так как при поступлении проверяют только умение решать стандартные задачи, которым можно овладеть чисто формально. В то же время жизнь требует решения нестандартных задач.

Советский Союз всегда славился высоким уровнем преподавания математики в школе, его представители традиционно занимали высокие места на международных олимпиадах, и поэтому настоящим шоком стало позорно низкое место, занятое российскими школьниками на проведенной в Финляндии олимпиаде по системе Программы международной оценки учащихся — Programme for International Student Assessment (PISA) [10].

В чем же лежат причины кризиса в преподавании математики и что же надо сделать, чтобы этот кризис преодолеть? В китайском языке слово кризис изображается двумя иероглифами, означающими опасность и возможность. Опасность дальнейшего ухудшения ситуации с преподаванием математики безусловно существует, но именно состояние кризиса порождает возможность эффективного поиска новых путей ее улучшения.

Математика является самой рациональной и логичной из научных дисциплин. Но в этой рациональности и логичности таится и опасность, так как человек по своей природе не является рациональным существом, а интуитивное мышление для него более естественно, чем логическое. Большинство математиков считают обязательным использовать при преподавании математики логический подход, основанный на четких определениях, системе аксиом и строгих доказательствах. В результате при такой системе преподавании математика воспринимается школьниками как схоластическая дисциплина, мало связанная с реальной жизнью. На это уже давно обратил внимание великий философ и математик Бертран Рассел, который писал: «Математики готовят в вузах только преподавателей математики, чтобы те готовили, в свою очередь, преподавателей математики и т. д. до бесконечности», а крупный американский инженер российского происхождения Степан Тимошенко считал: «Инженерам нужно знать только то, что составляет суть математических дисциплин и как эти знания применять на практике». Это относится не только к инженерам, но и к экономистам, психологам — тем, кто применяет на практике математические методы.

Поэтому построение курсов математических дисциплин должно отвечать требованиям конкретной специальности и не быть стандартным не только по составу математических дисциплин, но и по конкретному содержанию каждой дисциплины. Программы математических дисциплин, составленные математиками без учета специфики конкретной специальности, приносят больше вреда, чем пользы, создавая у студентов комплекс математической неполноценности, в результате чего уровень математической подготовки падает. Можно следующим образом перефразировать известное высказывание о военных: «Преподавание математики слишком серьезное дело, чтобы полностью доверять его профессиональным математикам». Преподаватели математики и на первых, и на старших курсах должны иметь ясное представление о специальности, которой обучаются студенты и тому, какие именно математические знания и навыки могут понадобиться будущим специалистам в их практической деятельности.

В конце 2005 г. в Санкт-Петербурге была проведена конференция «Новые цели и задачи школьного образования: опыт альтернативных педагогических систем», на которой с докладом «Образование: подготовка к жизни или игре „Что? Где? Когда?“» выступил действительный государственный советник РФ С. А. Цыпляев. Он высказал следующую мысль:

По образованию я физик-теоретик. Учась в Политехническом институте и потом в Университете, я не мог понять, почему за умение решать задачи ставят зачет, а знание теории оценивают на экзамене. Кажется, должно быть наоборот. Можно выучить определения и теоремы, но быть не в состоянии решить простейшую задачу. Студента оценивают не по тому, что он умеет, а по тому, что он в данный момент помнит. Но человек может обладать фотографической памятью, может воспроизвести любой текст, помнить, что и на какой странице написано, а потом выясняется, что он не является творческой личностью и работать практически не может.

Необходима разработка новых методов преподавания математики представителям тех специальностей, для которых математика является инструментом призванным помогать в решении практических задач. При разработке этих методов необходимо учитывать то, к каким изменениям привело развитие информационных технологий, как изменился окружающий мир и конечно необходимо использовать достижения психологии. Сейчас нам известно гораздо больше о человеке, способе его мышления. Поэтому разрабатываемые новые методы должны опираться на современные достижения психологии.

Развитие информационных технологий и вычислительной техники привело к появлению множества стандартных программ, позволяющих решить почти любую математическую задачу. Для ее решения требуется не умение самому совершать сложные математические действия (брать интегралы, вычислять производные, рассчитывать функции распределения), а понимание того, как это делается, и способность сформулировать задачу для компьютера или, если эта задача нестандартная, для профессионального математика, и оценить полученные результаты. В то же время знание теорем, умение проводить формальные доказательства необходимо только очень небольшому числу специалистов, разрабатывающих новые методы и создающих новые программы.

Курсы математики и информатики должны быть тесно связаны между собой. Нельзя преподавать математику, не учитывая возможности, которые предоставляет персональный компьютер. В идеале на первых же занятиях необходимо показать, как возникающие математические задачи могут решаться с помощью программы Excel и стандартных программ.

Многим представителям гуманитарных специальностей математика представляется трудным сухим предметом, содержащим большое число плохо запоминающихся формул, искусственных построений, сложных доказательств. Однако формулы, хотя и бывают очень полезны, не являются в математике главным. Представляется психологически целесообразным отказаться от традиционного изложения материала в курсах математики, начинающегося с изложения теории, которая потом иллюстрируется примерами решения задач, и применить другой метод: сначала показать, как в простейших случаев реальная задача может быть решена с помощью элементарных рассуждений на уровне здравого смысла, затем объяснить, какие трудности возникают при переходе к более сложным задачам и как эти трудности можно преодолеть с помощью математики.

Для большинства людей, особенно с гуманитарным складом ума, легче запомнить наглядный образ, а не формальное определение. Поэтому студентам следует давать математические понятия в виде определенных образов, имеющих аналогии в обыденной жизни. Формальное определение предела числовой последовательности, использующее понятие ε-окрестности, воспринимается студентами с большим трудом и его очень трудно запомнить. Можно сначала предложить студентам привести примеры употребления слова предел в обыденной жизни (предел терпения, предел возможностей), подобрать синоним этому слову (граница), а затем объяснить, что вблизи границы человека могут задержать и не позволить ему отойти от нее. При таком подходе понятие математического предела связывается с легко запоминающимся образом границы, к которой можно подойти как угодно близко, но отойти от которой уже невозможно.

Приведу еще пример того, как математические понятия можно вывести из рассмотрения реальных жизненных ситуаций.

Формальное определение производной и интеграла плохо усваивается студентами, хотя потом и дается их геометрическая интерпретация. Но можно пойти другим путем и проанализировать поездку на автомобиле за грибами, когда в течении двух часов автомобиль удаляется от города с постоянной скоростью 100 км в час, затем 2 часа стоит на месте, а потом с той же скоростью возвращается. Проиллюстрировав такую поездку графиком зависимости скорости v от времени, а затем, предложив построить график зависимости от времени t расстояния S, на которое автомобиль удалился от дома (для этого достаточно выяснить, как сначала растет, а потом уменьшается площадь под графиком скорости), можно естественным образом придти к понятию определенного интеграла. Если же теперь поставить обратную задачу — по графику S(t) построить график v(t), то естественным образом возникнет понятие производной. Затем можно рассмотреть задачу о бросании вверх камня или мяча с начальной скоростью 30 м/с. Когда студенты построят сначала график зависимость скорости камня от времени, а затем зависимость от t высоты H, на котором находится мяч, кто-нибудь обязательно воскликнет с удивлением — «Так ведь получилась парабола!!!». После этого не представляет труда объяснить понятия неопределенного интеграла и первообразной и с использованием графика вывести формулы неопределенных интегралов постоянной и линейной функций и производных линейной и квадратичной функций. Как показал опыт, все это можно сделать за два академических часа.

Особо следует остановиться на преподавании теории вероятностей. Эта область математики является единственной, которая заложена у нас в мозгу на подсознательном уровне, так как древнему человеку все время приходилось решать, какой из выбранных им путей или способов действий имеет больше шансов привести к успеху.

То, какие трудности представляет усвоение теории вероятности, можно проиллюстрировать на примере известной задачи о трех ящиках. Ведущий телешоу «Поле чудес» показывает какому-нибудь участнику шоу (будем считать, что им оказались Вы) три ящика и говорит: «В одном из ящиков приз. Угадаете, в каком — приз Ваш». Даже для человека, едва знакомого с теорией вероятностью, очевидно, что вероятность угадать ящик, в котором находится приз, равна 1/3. А теперь усложним задачу. После того, как Вы выбрали один из трех ящиков, ведущий, независимо от того правильно ли отгадан «счастливый» ящик, открывает один из не названных Вами ящиков, про который он знает, что тот пустой, и, лукаво улыбаясь, говорит: «Вы не обязаны открыть выбранный Вами ящик, можете открыть и другой ящик. Если приз там, он Ваш». И Вы начинаете думать: «Какой же из ящиков открывать? В каком из них больше вероятность найти приз? А, может быть, все равно — и вероятность того, что приз находится в любом из двух ящиков, одинакова и равна 1/2?». Правильное решение — открыть не тот ящик, который был назван сначала, а другой — вероятность найти в нем приз равна 2/3 — в 2 раза больше вероятности найти приз в первоначально выбранном ящике (она, как была, так и осталась равной 1/3). Как это ни удивительно, но правильный ответ дает не более 10% женщин, которым предлагается эта простая, на первый взгляд, задача, и не более 1% мужчин. За редчайшим исключением мгновенный ответ: «Конечно вероятности равны!» дают профессиональные математики и программисты. Объясняется это тем, что в нашем мозгу заложены генетически заданные стереотипы поведения, бывшие эволюционно выгодными десятки тысяч лет тому назад. Если охотник, преследующий зверя (а охотой занимались мужчины), подходил к развилке двух дорог, по которым мог убежать зверь, оптимальной для него была стратегия мгновенного выбора с равной вероятностью одной из дорог, а не размышление о том, по какой из дорог убежал зверь. Вспомним притчу о Буридановом осле, который умер от голода, размышляя над тем, с какой из одинаковых на вид охапок сена начать еду. От женщин же мгновенное принятие решения требовалось гораздо реже, и поэтому описанный стереотип оказался закрепленным не так жестко.

Так как же следует построить преподавание математики по специальностям, требующим не знания точных формулировок и умения доказывать теоремы, а умения практического применения математических методов?

  1. Следует провести опрос специалистов-практиков, в том числе выпускников, имеющих опыт практической работы, чтобы выяснить, какие математические понятия и методы применяются на практике и что необходимо знать для их использования. По результатам этого опроса следует составить список того, что и в каком объеме надо знать из элементарной и высшей математики выпускнику, и создать набор задач, которые должен уметь решать выпускник.
  2. Обучение математике на первом курсе следует начинать с проверки понимания сути математики, владения математическим языком и умения решать элементарные задачи, которые необходимы для усвоения высшей математики.
  3. Необходимо в курсе высшей математики и в курсе «Введение в специальность» дать первокурснику общее представление о том, какие знания по математике ему понадобятся, подкрепив это яркими примерами.
  4. Высшую математику надо излагать не как набор формул и формальных приемов, а как язык, который помогает решать практические задачи, рассуждать, отличать верные высказывания от неверных.
  5. У каждого преподавателя, читающего курсы, в которых используются математические методы, нужно получить информацию о том, какие предварительные знания и навыки должны быть у студента для того, чтобы он мог освоить эти методы в той степени, в которой это необходимо для усвоения курса.
  6. Кроме проверки знаний по окончании каждого математического курса, необходима проверка знаний в начале каждого следующего курса, а также информирование студентов о том, что они должны будут твердо знать к окончанию курса.
  7. Необходимо отделить те знания, которые должны остаться и по прошествии нескольких лет, от тех, которые необходимы только для сдачи экзамена. Проверять на экзамене следует не кратковременную память студента, а умение разобраться в материале и решать практические задачи, пользуясь не только памятью, но и дополнительными источниками.
  8. Нужно создать компьютерные тесты для самопроверки знаний студентами и их обучения.
  9. Надо давать студентам нестандартные задачи, требующие для своего решения фантазии, гибкости ума, так называемого латерального мышления.
  10. Надо приучать студентов к командной работе, предлагая группам из 4-5 человек для решения сложные нестандартные задачи.

Можно также попробовать объединить в единый курс три дисциплины: математику, информатику и концепции современного естествознания. Тогда понятие эллипса станет неразрывно связано с движением Земли вокруг Солнца, а удивительная функция ex, производная, и интеграл которой в точности совпадают с самой функцией, естественным образом возникнет из рассмотрения процесса радиоактивного распада и движения частиц в поглощающей среде.


Литература

  1. Вузы и работодатели о выпускниках и реформе высшей школы, М., Русал и «Система», 2005.
  2. Плаус Скотт. Психология оценки и принятия решений, М., «ФилинЪ», 1998.
  3. Ельяшевич А. Ошибки, которые мы совершаем, Нобелевская премия присуждена психологу, Top-Manager, ноябрь 2003 г.
  4. Ельяшевич А. Научатся ли люди играть по правилам?, Top-Manager, ноябрь 2006 г.
  5. Дольник В. Р. Непослушное дитя биосферы. Беседы о поведении человека в компании птиц, зверей и детей, СПб, 2003.
  6. Pinker S. How the Mind Works. N.-Y., London, W. W. Norton & Company, 1999.
  7. Лоренц К. Оборотная сторона зеркала. М., Республика, 1998.
  8. Толковый словарь русского языка, под ред. Д. Н. Ушакова. М., ОГИЗ, 1935.
  9. Арнольд В. И. О преподавании математики, Успехи математических наук, т.53, №1, 1958.
  10. Международная программа PISA-2000, Центр оценки качества образования Института общего и среднего образования РАО, М., 2003.
← Назад ↑

Статья написана 2006-11-12, опубликована 2006-11-21.
Главная » Статьи » Чему и как учить студентов в России в XXI веке?